Black一 Scholes模型與二叉樹模型的演變、進一步推廣在BlackScholes模型提出以后,許多學者對該模型的進一步推廣作出了重大貢獻.Black一Scholes模型的基本形式只適用于無股利支付股票的歐式期權,顯然實際交易的期權的標的物不會受到這些約束.Black(1975年)提出,如果能夠假定整個期權持有期的股利可知,則股利支付股票的歐式期權很容易被定價,這只要從股價中減去整個期權持有期的股利現值,并且把這個調整后的期權價格代入Black一 Scholes公式便可. Merton( 1973年)采用將股利表示為連續(xù)復利的方法,給出了Black Scholes公式的另外一種形式. Merton的連續(xù)復利模型為外匯期權定價提供了一個基本構架.用外幣的利率替換連續(xù)復利,即期匯率替代標的資產的價格,而波動率就是匯率的波動率,這樣就得到了外幣的歐式期權定價公式.適用于外幣期權的Black Scholes模型通常稱為Garman Kohlhagen模型.

 

   William Margrabe( 1978年)提出了一個模型可以用于對兩種資產按約定價格交換的權利進行定價.盡管這種被稱為交換期權的產品在期權市場上并沒有出現過,但由于它是資產、現金與另一種資產的相互交換期權,因此被認為是Black一Scholes模型的廣義形式. Robert Geske(1979年)又發(fā)展了一種以期權定價期權的模型，換言之,不僅衍生產品本身是一種期權,標的資產也不是一般意義下的資產而是期權,這種被Geske定義為復式期權的衍生產品在期權市場上也沒有出現過.但是就像Black和Scholes在他們的最初論文中所討論的那樣,普通股本身也是一種由公司債權人所發(fā)行的、以公司資產為標的資產的期權，股東是期權的買入者,因此任何一個有負債公司的股票期權就可以理解為復式期權.更為重要的是,復式期權的計算公式為其他期權的定價提供了可參.考的途徑.例如,美式看漲期權的定價是一個特別難解決的問題,股票除息前支付股利的美式看漲期權有可能被提前執(zhí)行. Roll(1977年)使用Geske模型得出了美式看漲期權的封閉解.此后,Geske(1979年)和Whaley(1981年)對Roll 理論做了進一步的改進,使該公式更趨完善,這一模型就被稱為Roll一 Geske Whaley模型.另外一個例子是美式看跌期權,因為在任何時候美式看跌期權

都可能被提前執(zhí)行,這種期權也難以找到封閉解.Geske和John一son(1984年)發(fā)現,通過一系列復式期權可以求出它的封閉解,但因為它含有一個無窮數項,因此計算較復雜.

 

   Merton(1976年)提出了跳躍過程模型, Black Scholes模型的研究都是建立在股價波動平穩(wěn)基礎之上的,但股票價格起伏不定,假如不能夠進行套期保值的話,這樣波動不定的風險非常大。Merton認為這些波動的風險可被視為分散化的風險,因此我們能夠忽略它的風險貼水,從而得到一個跳躍波動率的期權定價模型.Jhon Cox(1975年)的定常彈性方差模型(Constant Elasticity ofVariance Model)給出了當波動率隨股價的下跌而增加時怎樣定價股票權.雖然目前這一模型使用不多,但它的深遠意義就在于第一次嘗試著在期權定價模型中體現出波動率的變化1982年期權定價的研究取得了新的進展. Stulz設計了一種根據兩種風險資產的較大或較小值確定的期權,這種期權的損益由期權到期時兩種標的資產價值的較大者或者較小者決定,到期以后就像普通期權一樣進行標的資產的買賣,并對期權進行清算.這種期權在理論上提出了10年以后才在市場上出現.因為一些投資經理更愿意對兩個市場中表現較好的市場指數的看漲期權進行投資,而不是同時購買這兩種指數的期權或直接在兩個市場上進行投資,基于兩種資產的期權就可以滿足市場的需求。Black Scholes模型的另外一個擴展是考慮違約情況.雖然期權交易的購買者沒有必要為違約問題而擔心,但場外交易市場存在這個問題. Johnson和Stulz(1987年)給出了在到期日前可能被違約的期權定價公式.Rich(1996年)的研究表明,BlackScholes模型經適當調整以后可以用來對發(fā)行人由于破產問題導致違約的期權定價問題。

 

   Black Scholes模型的進一步擴 展與對交易成本和市場完備性的研究也是分不開的.期權定價理論假定交易能夠連續(xù)發(fā)生,該假設要求沒有交易成本.但顯而易見,實際情況總是違背這個假設條件的.如果帶有任何交易成本，該連續(xù)交易都會導致無限的費用.而若交易不連續(xù)發(fā)生,則連續(xù)復制不能實現,期權定價公式也就不能得到.同時在不完備市場下,比如限制賣空、存貸利率不同衍生產品的定價也肯定不同.這方面的研究文獻有Lelard(1985年), Musiela和Rutkowski(1997 年).這些領域的研究都極有意義,它使理論模型與含有不連續(xù)交易、交易成本、市場不完備的真

實情況更趨近一致.